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By Otto Forster

ISBN-10: 3658065397

ISBN-13: 9783658065393

Das Buch gibt eine Einführung in die Zahlentheorie bis hin zu den quadratischen Zahlkörpern. Dabei wird durchgehend auch der algorithmische Aspekt betrachtet. So werden Existenzsätze (z.B. für die Darstellung von Primzahlen der shape p=4n+1 als Summe von zwei Quadratzahlen) stets durch Algorithmen zur Konstruktion ergänzt. Neben den klassischen Inhalten der elementaren Zahlentheorie werden in dem Buch u.a. auch die Multiplikation großer ganzer Zahlen mittels der schnellen Fourier-Transformation sowie Faktorisierung ganzer Zahlen mit elliptischen Kurven behandelt.

Für die Neuauflage wurden bekannt gewordene Fehler der ersten Auflage korrigiert und an mehreren Stellen Umarbeitungen vorgenommen. Außerdem gibt es neue Abschnitte über die Faktorisierung mit dem Quadratischen Sieb, den Diskreten Logarithmus (der in der Kryptographie eine große Rolle spielt) sowie über den deterministischen AKS-Primzahltest mit polynomialer Laufzeit. Damit der Leser die Algorithmen auf seinem computing device oder workstation auch konkret testen kann, werden die Algorithmen in einem pascalähnlichen Code für den vom Autor entwickelten Multipräzisions-Interpreter ARIBAS beschrieben, der zum kostenlosen obtain zur Verfügung steht.

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Pkr r die PrimfaktorZerlegung von m. Dann gilt r ϕ(m) = r (pki i − pki i −1 ) = m i=1 1 (1 − p ). i i=1 Beweis. F¨ ur eine Primzahl p und k 1 ist Card((Z/pk Z)∗ ) = pk − pk−1 , denn k unter den Zahlen {0, 1, . . , p − 1} sind nur die Vielfachen von p, n¨amlich np mit 0 n < pk−1 zu pk nicht teilerfremd. Aus dem chinesischen Restsatz folgt (Z/mZ)∗ ∼ = (Z/pk11 )∗ × . . d. § 6 Der Restklassenring Z/mZ 50 Zyklische Gruppen Sei G eine multiplikativ geschriebene Gruppe und a ∈ G ein Element von G. Wir betrachten die Menge aller Elemente an ∈ G mit n ∈ Z.

H. das Element x ∈ Z/pZ besitzt ein Inverses. Bezeichnung. F¨ ur eine Primzahl p wird der K¨orper Z/pZ auch mit Fp bezeichnet. (Die Bezeichnung F kommt von engl. field). Eine andere oft gebrauchte Bezeichnung ´ Galois). ist GF (p) (Galois-Feld, nach E. Wir untersuchen jetzt den Fall, dass m keine Primzahl ist. Es wird sich zeigen, dass eine Zerlegung von m als Produkt teilerfremder Faktoren eine Zerlegung des § 6 Der Restklassenring Z/mZ 46 Ringes Z/mZ nach sich zieht. Dazu f¨ uhren wir zun¨achst den Begriff des direkten Produkts von Ringen ein.

Wir k¨onnen also y = 0 voraussetzen. 3. Wir beweisen die Behauptung durch vollst¨andige Induktion u urliche Zahl ¨ ber die nat¨ β(y). Induktionsanfang β(y) = 0. Dann bleibt bei der Division von x durch y kein Rest, also ist y gr¨ oßter gemeinsamer Teiler. Induktionsschritt. Wir f¨ uhren Division mit Rest durch: x = qy + r, wobei r = 0 oder β(r) < β(y). § 4 Der Euklidische Algorithmus 25 Im Fall r = 0 ist y gr¨oßter gemeinsamer Teiler. Andernfalls k¨onnen wir die Induktions-Voraussetzung auf (y, r) anwenden.

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