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By Jürgen Neukirch

ISBN-10: 3540375473

ISBN-13: 9783540375470

Die algebraische Zahlentheorie ist eine der traditionsreichsten und gleichzeitig heute besonders aktuellen Grunddisziplinen der Mathematik. In dem vorliegenden Buch wird sie in einem ausf?hrlichen und weitgefa?ten Rahmen abgehandelt, der sowohl die Grundlagen als auch ihre H?hepunkte enth?lt. Die Darstellung f?hrt den Leser in konkreter Weise in das Gebiet ein, l??t sich dabei von modernen Erkenntnissen ?bergeordneter Natur leiten und ist in vielen Teilen neu. Der grundlegende erste Teil ist mit einigen neuen Aspekten versehen, wie etwa einer ausf?hrlichen Theorie der Ordnungen. ?ber die Grundlagen hinaus enth?lt das Buch eine geometrische Neubegr?ndung der Theorie der algebraischen Zahlk?rper durch die Entwicklung einer "Riemann-Roch-Theorie" vom "Arakelovschen Standpunkt", die bis zu einem "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" f?hrt, ferner lokale und globale Klassenk?rpertheorie und schlie?lich eine Darstellung der Theorie der Theta- und L-Reihen, die die klassischen Arbeiten von Hecke in eine fa?liche shape setzt.

Das Buch wendet sich an Studenten nach dem Vordiplom bzw. Bachelor. Dar?ber hinaus ist es dem Forscher als weiterweisendes Handbuch unentbehrlich.

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Proof: By Proposition 16 we have a= Pn( + Pn-I . e. Let ('s continued fraction expansion be [an+l, an+2, . ], so a = [aO,al, ... ,]. o The following proposition is the main result of this section. It provides a sufficient condition for a rational number to be a convergent of a continued fraction. Proposition 18 If p/q is a rational approximation to a that satisfies IEq -al <_1 2q2 then p/q is a convergent of the continued fraction of a. 16) - -a =€"2' = [ao, ... ,an] = Pn/qn' Define ( by Letting p/q p/q we can choose n such that a= € = (_I)n-l and (Pn +Pn-l .

Ak-lof3]. e. 0:=--. 9), is not a square. 4. Continued Fractions of Quadratics P8-QR=±1, thus (8 - p)2 + 4QR = (8 + p)2 + 4(QR - P8) (8 + p)2 ± 4. Since no two square integers differ by 4, /3 is irrational. 10), which we denote by aI, is called a's conjugate. An irrational quadratic a is said to be reduced if a > 1 and if -1 < a l < O. 11 ) ' where Q > O. 11) with a given discriminant (N). If a is reduced then and 0> a l = p-VN Q > -1. By a > 1 we have P + VN > Q > O. So, if P is bounded, so is Q.

J5q2 Here we prove an even stronger theorem that is due to Nathanson [182]. Notice that of all the irrational numbers, the most difficult to approximate are those that are equivalent to the golden ratio. Furthermore, the partial quotients of the golden ratio are all equal to 1. This matches our intuition that large partial quotients indicate especially good approximations. Define F(k) C [0, I] to be the irrational numbers whose continued fractions have no partial quotients greater than k, F(I) ~ F(2) ~ F(3 ~ ....

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