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10 Riemann’sche Zahlenkugel 27 Abb. 16 Gereise auf der Riemann’schen Zahlenkugel Gerade ∞ Kreis 0 oder 2 x2 C y2 C 1 2 D0; also eine quadratische Gleichung in . Eine der Lösungen ist Nordpol ergibt. Die andere Lösung ist D D 0, was den 2 2 D 2 : 2 Cy C1 jzj C 1 x2 Daraus ergibt sich x0 D 2 Re z ; jzj2 C 1 y0 D 2 Im z ; jzj2 C 1 z0 D jzj2 1 : jzj2 C 1 In der anderen Richtung erhalten wir mithilfe der parametrischen Formeln xD x0 1 z ; 0 yD y0 1 z0 : Die stereografische Projektion liefert eine Bijektion zwischen Geraden und Kreisen in der Ebene und Kreisen auf der Riemann’schen Zahlenkugel.

Tatsächlich kann die Variable sogar eine beliebige komplexe Zahl z sein. Durch Einsetzen von x D 1 erhalten wir eine Formel für die Basis des natürlichen Logarithmus e: e D1C1C 1 1 1 C C C::: 2Š 3Š 4Š 2;71828 : : : Wenn wir entsprechend mit Sinus und Kosinus verfahren, ergibt sich sin x D x x5 x3 C 3Š 5Š x7 C::: ; 7Š cos x D 1 x2 x4 C 2Š 4Š x6 C::: 6Š Es war Leonhard Euler (1707–1783), der feststellte, dass die Entwicklung der Exponentialfunktion genauso gut funktioniert, wenn x eine komplexe Variable ist; und wenn wir x durch i ersetzen (mit i als der imaginären Einheit, i 2 D 1), dann kommt eine Beziehung zwischen der Exponentialfunktion, Sinus und Kosinus heraus: e i D cos  C i sin  : Mit  D ergibt sich daraus e i D cos C i sin D 1 und damit ei C 1 D 0 : Diese Beziehung vereinigt fünf wichtige mathematische Konstanten, , e, i, 1 und 0, in einer einzigen Formel.

Wie sehen sie aus? Die erweiterte reelle Gerade ist ein Kreis, da es sich bei ˙1 um denselben Punkt handelt. Entsprechend ist die erweiterte Ebene eine Kugel (Abb. 15), genannt die Riemann’sche Zahlenkugel nach Bernhard Riemann (1826–1866). Die stereografische Projektion stellt eine Bijektion zwischen Punkten in der Ebene und Punkten auf der Riemann’schen Zahlenkugel ohne den Nordpol dar. Der Nordpol wird dabei mit 1 identifiziert. 0; 0; 0/ verstehen. 0; 0; 1/. x; y; 0/ liegt. Der Ursprung wird auf den Südpol abgebildet; der Einheitskreis in der Ebene wird auf den Äquator abgebildet; Kreise, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt und die einen Radius größer (bzw.

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